Singapore Math Heuristics: Solve Part of the Problem, Simplify the Problem and Work Backwards

การแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์สามารถช่วยพัฒนาทักษะการคิดอย่างมีเหตุผลและการสื่อสาร เพื่อให้สามารถถ่ายทอดให้ผู้อื่นได้ซึ่งเป็นทักษะที่จำเป็นกับการทำงาน

เมื่อเด็กแก้ปัญหาต้องใช้เหตุผล 3 ระดับ สิ่งแรกคือ พวกเขาใช้เหตุผลเพื่อรับรู้ว่ามีข้อมูลใดบ้างที่ให้หรือขาดหายไป จากนั้นพวกเขาใช้เหตุผลเพื่อค้นหาข้อมูลที่ต้องการค้นหา ในที่สุดพวกเขาใช้เหตุผลเพื่อนำความรู้ที่เกี่ยวข้องที่ผ่านมาและเลือกวิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสม (Heuristic) มาใช้เพื่อหาคำตอบ

การสื่อสารมีความจำเป็นสำหรับการสร้างความเข้าใจและการสื่อออกมาในระหว่างการแก้ปัญหา เด็กจำเป็นต้องอ่านและทำความเข้าใจโจทย์ปัญหาแล้วเขียนและอธิบายวิธีแก้ปัญหา เมื่อเด็กได้รับการส่งเสริมให้อธิบายวิธีคิดของเขาด้วยคำพูด สื่อสารออกมาให้เห็นภาพ และเขียนออกมา พวกเขาจะเข้าใจแนวคิดทางคณิตศาสตร์มากขึ้น และมีการพัฒนาทักษะการสื่อสารที่ดีมากยิ่งขึ้น

Singapore Math Heuristics

ก่อนบทนี้ part one of our Singapore Math Heuristics series, เราได้พูดถึงภาพรวมของ 12 heuristics ในเนื้อหาที่บรรจุในบทเรียนของคณิตศาสตร์สิงคโปร์ สำหรับหลักสูตรการสอนที่ได้พัฒนาขึ้นโดย Seriously Addictive Mathematics (S.A.M) ได้ออกแบบการเรียนการสอนให้นักเรียนได้เรียนรู้และสามารถนำไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาได้

และใน part two of the Math Heuristic series, เราได้ลงรายละเอียดของ Heursitics: Act It Out, Draw A Diagram และ Look For Patterns และได้แสดงวิธีนำไปใช้ของขั้นตอน Polya’s 4-step problem-solving จากตัวอย่างโจทย์ปัญหา

In part three of the Math Heuristics series, เราได้ลงรายละเอียดของ: Make a Systematic List, Guess and Check, and Restate the Problem in Another Way.

ในบทที่สี่นี้เราจะกล่าวถึง Heuristic อีก 3 ประเภทถัดไป คือ – Solve part of the problem, simplify the problem และ work backwards.

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาได้ใช้แก้ปัญหาด้วยวิธี Heuristic และกระบวนการแก้ปัญหาตามขั้นตอนของ Poly’s 4-step ซึ่งมีวิธีการหาคำโดยผู้ออกแบบหลักสูตร S.A.M.

---

Heuristic: Solve part of the problem

Word Problem (Grade 3):

At a school library, each student could borrow up to 4 books. The bar graph below shows how many books students borrowed from the school library in one week. What was the total number of books borrowed from the library that week?

ที่ห้องสมุดของโรงเรียน, นักเรียนสามารถยืมหนังสือได้ไม่เกิน 4 เล่ม ในกราฟแท่งข้างล่างแสดงจำนวนหนังสือที่นักเรียนยืมไปในช่วงสัปดาห์ที่ผ่านมา จำนวนหนังสือที่ถูกยืมไปจากห้องสมุดในช่วงสัปดาห์นั้นเป็นกี่เล่ม?

Solution: 1. Understand: What to find: total number of books borrowed

What is known: 19 students borrowed 1 book. 27 students borrowed 2 books. 16 students borrowed 3 books. 11 students borrowed 4 books.

2. Choose: Solve part of the problem 3. Solve: 19 students borrowed 1 book = 19 × 1 = 19 books

27 students borrowed 2 books = 27 × 2 = 54 books

16 students borrowed 3 books = 16 × 3 = 48 books

11 students borrowed 4 books = 11 × 4 = 44 books

19 + 54 + 48 + 44 = 165 books

165 books were borrowed from the library that week. 4. Check: Did I read the information from the bar graph correctly? Yes

Did I calculate the number of books for each bar correctly? Yes

Did I add the number of books for all bars? Yes

Try solving the following word problem using Polya’s 4-step process.

Word Problem (Grade 6): The diagram below shows 4 shaded triangles in Triangle ABC. All the triangles in the diagram are equilateral triangles. If the area of Triangle ABC is 64 cm2, find the total area of the shaded triangles.

จากภาพด้านล่างแสดงรูปสามเหลี่ยมแรเงา 4 รูป อยู่ในรูปสามเหลี่ยน ABC โดยสามเหลี่ยมทุกรูปในภาพเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ 64 ตร.ซม. ให้หาพื้นที่ทั้งหมดของสามเหลี่ยมที่แรเงา

Answer: The total area of the shaded triangles is 28 cm^2

วิธีหาคำตอบได้แสดงไว้ที่หน้า part one of our Singapore Math Heuristics series.

---

Heuristic: Guess and check

Word Problem (Grade 3):

A bakery sold cupcakes at $4 each. For every 6 cupcakes bought, a discount of $2 was given. Ling bought 50 cupcakes. How much did Ling pay for the cupcakes?

ร้านเบเกอรี่ขายขนมคัพเค้กชิ้นละ $4 หากซื้อคัพเค้ก 6 ชิ้นจะได้ส่วนลด $2 หลิงได้ซื้อคัพเค้กทั้งหมด 50 ชิ้น หลิงชำระเงินสำหรับซื้อคัพเค้กไปเท่าไหร่?

Solution:

1. Understand:

What to find: How much Ling paid for the cupcakes.

What is known: Each cupcake cost $4. A discount of $2 was given for every 6 cupcakes bought. Ling bought 50 cupcakes

2. Choose: Simplify the problem

3. Solve:

6 cupcakes form 1 set.

50 ÷ 6 = 8 remainder 2

Ling bought 8 sets of 6 cupcakes and 2 more cupcakes.

Each cupcake costs $4.

6 × $4 = $24

$24 – $2 = $22

Each set of 6 cupcakes cost $22.

Cost of 8 sets of 6 cupcakes = 8 × $22 = $176

Cost of 2 more cupcakes = 2 × $4 = $8

Total cost = $176 + $8 = $184

Ling paid $184 for the cupcakes.

4. Check:

How many cupcakes are there in 8 sets? 8 × 6 = 48

Were there 50 cupcakes? 48 + 2 = 50. Yes

Word Problem (Grade 4):

Square EFGH is made up of 4 rectangles. The perimeter of Square EFGH is 32 centimetres. Find the perimeter of each rectangle

สี่เหลี่ยม EFGH ถูกสร้างขึ้นจากสื่เหลี่ยมผืนผ้า 4 รูป โดยสี่เหลี่ยม EFGH มีเส้นรอบรูปเท่ากับ 32 cm ให้หาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูป?

Solution: 1. Understand: What to find: The perimeter of each rectangle.

What is known: Square EFGH is made up of 4 rectangles. The perimeter of EFGH is 32cm. EF is made up of the length of a rectangle. FG is made up of the breadths of 4 rectangles. 2. Choose: Simplify the problem

3. Solve: A square has 4 equal sides.

32 ÷ 4 = 8

EF is 8cm. The length of a rectangle is 8cm.

FG is also 8cm.

8 ÷ 4 = 2

The breadth of a rectangle is 2cm.

8 + 2 + 8 + 2 = 20

The perimeter of each rectangle is 20 centimetres.

4. Check:

Is the perimeter of EFGH 32cm?

8 + 2 + 2 + 2 + 2 + 8 + 2 + 2 + 2 + 2 = 32. Yes.

Is EF the same length as FG?

EF = 8. FG = 4 × 2 = 8

Try solving the following word problem using Polya’s 4-step process. Word Problem (Grade 6): The shaded figure below shows a semicircle and two quarter circles. Find the area of the shaded figure.

ภาพแรเงาด้านล่างประกอบด้วยรูปครึ่งวงกลม 1 รูป และ รูป 1/4 วงกลม 2 รูป ให้หาพื้นที่ในส่วนที่แรเงา

(Take pi = 3.14)

The area of the shaded figure is 450 cm^2.

วิธีหาคำตอบได้แสดงไว้ที่หน้า part one of our Singapore Math Heuristics series.

---

Heuristic: Restate the problem in another way

Word Problem (Grade 3):

Mr Adam had some pens in his stationery store. He sold 318 of the pens at $1 each. He then put the remaining pens into packs of 5 and sold each pack for $3. He made $249 from selling all the packs. How many pens did Mr Adam have at first?

อดัมมีปากกาอยู่ที่ร้านขายเครื่องเขียนของเขา เขาได้ขายปากกา 318 แท่งในราคาแท่งละ $1 จากนั้นเขานำปากกาที่เหลือแบ่งบรรจุชุดละ 5 แท่ง ซึ่งขายชุดละ $3 โดยขายทั้งหมดได้จำนวนรวม $249 อดัมมีปากกาในตอนแรกทั้งหมดกี่แท่ง?

Solution:

1. Understand:

What to find: How many pens did Mr Adam have at first?

What is known: He sold 318 pens. He packed the remaining pens into packs of 5. He sold the packs at $3 each and made $249.

2. Choose: Work backwards

3. Solve:

Let’s label the changes C1, C2 and C3

C1: He sold 318 pens.

C2: He packed the remaining pens into packs of 5

C3: He sold the packs at $3 each.

We can organise the information like this:

C3 is he sold the packs at $3 each.

Before C3: 249 ÷ 3 = 83

He had 83 packs.

C2 is he packed the remaining pens into packs of 5.

Before C2: 83 × 5 = 415

He had 415 pens remaining.

C1 is he sold 318 pens.

Before C1: 415 + 318 = 733

Mr Adam had 733 pens at first.

4. Check:

How many remaining pens did he have? 733 – 318 = 415

How many packs of 5 pens did he have? 415 ÷ 5 = 83

How much did he made from selling the packs? 83 × 3 = $249

Try solving the following word problem using Polya’s 4-step process.

Word Problem (Grade 3): Darren had some stickers in his collection. He bought 20 more stickers and gave 33 stickers to his sister. He had 46 stickers left. How many stickers did Darren have in his collection at first?

ดาเรนมีสติกเกอร์และสะสมเก็บไว้ เขาได้ซื้อสติกเกอร์มาเพิ่ม 20 ดวงและให้น้องสาวไป 33 ดวง เขาเหลือสติกเกอร์อยู่ 46 ดวง จำนวนสติกเกอร์ที่ดาเรนสะสมอยู่ในตอนแรกมีอยู่เท่าไหร่?

Answer: Darren has 59 stickers in his collection at first.

วิธีหาคำตอบได้แสดงไว้ที่หน้า part one of our Singapore Math Heuristics series.

โจทย์ตัวอย่างเหล่านี้เป็น Heuristic บางส่วนของสิงคโปร์แมทสที่ใช้ในการแก้ปัญหาระดับพื้นฐานและระดับกลางในชั้นประถมศึกษาตอนต้น (Primary 1 - 3) และ โจทย์ปัญหาที่มีความซับซ้อนมากขึ้นในระดับประถมศึกษาตอนปลาย (Primary 4 - 6)

สำหรับบทนี้เป็นบทความที่ 4 ของ S.A.M Singapore Math Heuristics series โดยสามารถติดตาม 3 Singapore Math heuristics พร้อมวิธีทำได้ในบทความถัดไป

Seriously Addictive Mathematics (S.A.M) ได้เริ่มต้นตั้งแต่ปี 2010 และปัจจุบันเป็นหลักสูตรคณิตศาสตร์สิงคโปร์ที่ใหญ่ที่สุดในโลก สำหรับระดับชั้นอนุบาล - ประถม ( 4 - 12 ปี ) หลักสูตรที่ได้รับรางวัลโดยพัฒนาจากหลักสูตรคณิตศาสตร์สิงคโปร์มุ่งเน้นการพัฒนาทักษะแก้ปัญหาและทักษะการคิด

การวางหลักสูตรประกอบสองเสาหลักคือ กระบวนการสอนในห้องเรียนและแบบฝึกหัดอย่างมืออาชีพ เรารู้ดีว่าเด็กทุกคนมีความต่าง และความสามารถในการเรียนรู้ที่ต่างกัน หลักสูตรจึงออกแบบมาเพื่อให้มีหลายระดับเพื่อปรับใช้ได้เหมาะกับเด็กทุกคน